3. Объяснение апории Зенона Бегун и черепаха

                "Бытие есть, а небытия нет". (Парменид)

Теперь рассмотрим самую известную апорию Зенона Элейского под названием
 "Бегун и черепаха".
  "Аристотель излагает его таким образом: «Второй же [аргумент]
— так называемый „Ахиллес” . Заключается он в том, что
более медленное в беге никогда не будет настигнуто самым
быстрым. Ибо прежде чем преследующее явилось [туда, откуда
отправилось преследуемое], преследуемое неизбежно уже
выступило оттуда; а поэтому оказывается, что более медленное
всегда должно находиться впереди."
(Комарова В.Я. "Учение Зенона Элейского", 1988г, стр.158)
  В современном изложении эта апория  звучит так:
"Парадокс утверждает, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если ей дать фору, поскольку каждый раз, когда бегун достигает точки, где была черепаха, она успевает уползти на некоторое расстояние вперёд. Этот процесс делится на бесконечное число шагов, и, с точки зрения Зенона, это делает движение иллюзией."
Читатель  который никогда ранее не сталкивался с таким необычным представлением процесса движения впадает в ступор прочтя эту апорию впервые, так как в ней  вроде все логично изложено, а непротиворечивого объяснения  этой загадки нет.
  Однако теперь обладая знаниями полученными при  рассмотрении апорий "Стрела" и "Дихотомия", мы можем объяснить и эту интересную загадку Зенона.
В дальнейших рассуждениях  вместо слов  "бесконечно малое"  пишем   БМ.
 Итак начнем.
Сразу скажу главное - у этой  задачи нет логически непротиворечивого решения в том виде в котором Зенон её описал, так как при описании движения он использовал только путь  (пространство) и ничего не сказал о времени, а без привлечения времени решить любую задачу о движении  невозможно (см. объяснение апории "Дихотомия" и "Летящая стрела").
Поэтому рассматривать эту апорию будем с учетом времени.
    Тогда становится очевидно, что бегун и черепаха за один и тот же временной отрезок проходят РАЗНЫЕ по величине пути, и это различие  в пройденных  путях бегуном и черепахой остается неизменным   даже в случае бесконечного деления  времени.
Теперь попробуем это  доказать логически, например с помощью дихотомического деления (как это делал Зенон).
  Предположим, что за секунду бегун пробегает 10м, а черепаха проползает 10см, таким образом   при сравнении  путей пройденных бегуном и черепахой за одно и то же время мы видим, что они  различаются в 100 раз,  то есть у бегуна и черепахи различные скорости.
Теперь мысленно начнем "дихотомически"  делить время  и каждый раз после деления будем сравнивать между собой  части пути (пространства) пройденные бегуном и черепахой.
 В этом случае мы увидим что  через 0,5 сек бегун пробегает 5м, а черепаха проползает 5см, через 0,25 сек бегун пробегает 2,5м, а черепаха проползает 2,5см  и т.д.
 Такое деление времени продолжаем бесконечно долго и каждый раз при сравнении  путей пройденных бегуном и черепахой, мы видим что  они ВСЕГДА различаются в 100 раз, поэтому  даже при делении времени на бесконечное количество частей, различие в 100 раз между  частями пути пройденного бегуном и черепахой  всегда  остается постоянным.
 То, что эта пропорция всегда сохраняется,  можно доказать и обратным путем,  суммируя части  полученные в результате бесконечного деления путей бегуна и черепахи, и  в итоге мы получим ровно те же части пути которые за одно и то же время прошли бегун и черепаха ДО деления.
    Тогда объяснение  как бегун догоняет (и обгоняет) черепаху  становится  простым - когда бегун за БМ время пробегает некую бесконечно малую  часть  своего пути, то черепаха за это же  БМ время проползает в 100 раз меньшую бесконечно малую  часть своего пути.
  Поэтому  даже предложенное Зеноном  деление  пути на бесконечность  не сможет опровергнуть логику этого доказательства- бегун не только догонит черепаху, но и перегонит её, ибо  за любой БМ отрезок времени бегун всегда будет проходить бОльший путь, нежели черепаха.
Вот таким образом можно разрешить эту знаменитую апорию Зенона.
И кстати, в этой апории  мы имели дело с актуальной бесконечностью (см. "Нестандартный математический анализ").
 Поэтому ответ на эту апорию таков:
 Даже в бесконечно малом отрезке времени более быстрое всегда догонит и перегонит более медленное, так как и в этом случае их пути различны.

                Дополнение

 Решение этой апории можно значительно упростить, если  немного изменить  условия задачи  сформулированные  Зеноном.
 Главное условие которое в этой апории поставил Зенон заключается в том, что когда бегун  догоняет  черепаху, то он    бежит не к ней, а к ТОЧКЕ где она была и именно это условие  порождает сложности при попытке разрешить апорию.
Однако если эту точку убрать и  рассматривать расстояние (путь) только между бегуном и   черепахой (а не точкой где она была), то становится  очевидным что это расстояние просто постепенно сокращается, и в конечном итоге приводит к тому что бегун догоняет и перегоняет черепаху.
То есть бегун бежит именно к черепахе, а не к точке где она была.
Более того, при таком условии черепахе двигаться вообще не обязательно, так как нет никакой разницы движется она или нет, поэтому  апорию можено еще более упростить, представив  что  бегун просто бежит к  чему-то неподвижному, например к неподвижной черепахе.
 В этом случае апория "Бегун и черепаха" становится очень похожей на апорию "Дихотомия", которую мы рассмотрели ранее.
А если из апории убрать  еще  и черепаху, то апория превращается в апорию "Стрела", где кроме стрелы (бегуна) ничего нет.
 Здесь хочу отметить  тот факт, что судя по вышеприведенным  апориям, при рассмотрении движения Зенон был весьма последователен.
  Также хочу обратить ваше внимание на  замечательную способность Зенона представлять очевидное в таком виде,   в котором оно становится парадоксальным и трудно объяснимым, хотя все поставленные им условия задачи  логичны и непротиворечивы.