Про алгебру и кольца вычетов

Есть такой раздел высшей математики, как общая алгебра. Она изучает алгебраические структуры (кольца, поля) состоящие, например, из чисел. И несмотря на устрашающий лор, некоторые объекты общей алгебры сможет понять и пятиклассник. Например, таковы кольца вычетов.
Кольцо вычетов (обозначается Zn, где буква N должна быть как нижний индекс, но Проза.ру такую разметку не поддерживает) всегда имеет модуль N и это просто совокупность чисел от 0 до N-1. В нём задаются сложение и умножение аналогично обычным целым числам, но с оговоркой – все результаты заменяются остатками от деления их на N. По сути кольцо вычетов это набор остатков от деления.
Пусть у нас Z7 – кольцо вычетов по модулю 7, это просто набор чисел от 0 до 6, то есть {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. В нём так же, как в обычной арифметике, 1+1=2 и 2х2=4. Но сколько будет, например, 5+3? Вообще 8, но нам нужно для нахождения результата в Z7 разделить на модуль 7 – в этом случае, просто его вычесть. Тогда получим 5+3=1. А сколько будет 6х5? Обычно это 30, а в Z7 будет 2, поскольку 30/7=4 и в остатке 2. Аналогично можно возводить в степень.
Что такое вообще кольцо? Это множество чисел (или каких-то близких объектов, например, векторов или функций), где можно складывать, вычитать и умножать, причём все результаты будут принадлежать этому множеству. С точки зрения общей алгебры вычитание приравнено к сложению с противоположным элементом (это такой, который в сумме с данным даёт 0) и не рассматривается как отдельное действие. Самое первое числовое кольцо, изучаемое в школе – это кольцо целых чисел Z.
А есть ещё такое понятие, как поле. Поле – это когда внутри этого множества можно ещё и делить. Причём деление тоже рассматривается не как отдельное действие, а как умножение на обратный элемент (это такой, который при умножении на данный даёт 1). Конечно же, поле это вид кольца. Множества рациональных чисел Q, действительных R и комплексных C это поля. Кольцо вычетов тоже может являться полем, если его модуль простое число. Тогда модуль обозначается буквой p, а поле Zp.
Рассмотренное выше Z7 это поле. А как делить? Сколько будет 2/3? Делается это так. Переносимся на время в знакомую школьную арифметику и рассмотрим выражение (7x+2)/3, которое при каком-то целом x будет целым. Подходит x=1, и тогда выходит, что 2/3=3 в Z7.
Можно даже извлекать корни (например, мы сейчас увидели, что sqrt(2)=3), решать квадратные уравнения и вычислять логарифмы, но это уже довольно сложно.
В кольцах вычетов не по простому модулю есть такая парадоксальная для обывателей, но обычная в общей алгебре штука, как делители нуля. Это такие неравные нулю числа a и b, что ab=0. Например, в Z12 3х4=0 догадайтесь почему.
Ещё один сюрприз – где можно увидеть самое настоящее кольцо вычетов, имеющееся в каждом доме. Это часы! Которые математически не что иное, как кольцо вычетов по модулю 12. Правда, для математической строгости цифру 12 надо заменить на 0. Но так всё работает: например, 11+3=2 и это означает, что если сейчас часы показывают одиннадцать, то через 3 часа они покажут два.
Напрашивается каверзный вопрос, который всегда злит математиков: а где это применяется? Ну, кроме часов с циферблатом. Прежде всего это применяется в IT и в разном софте, например, в Adobe Photoshop. На кольцах вычетов строится целый крупный раздел вышмата под названием дискретная математика, имеющая много применений в реальной жизни. Кто-то говорил, что математика всегда опережала время, так с общей алгеброй так же – в начале XX века про это всё говорили “что опять за ахинею нагородили эти математики”, а через 80 лет это оказалось крайне нужным и полезным.
P.S. И второй каверзный вопрос: а можно ли построить кольцо вычетов, в котором верна любимая всеми хипстерами формула 2х2=5? Ответ: нет. Зато есть круче: в Z4 2х2=0.