Лотерея. Финал

В одном большом городке большой-большой страны появилась необычная финансовая сеть — «Супер-Выигрыш-Банк». Чтобы привлечь клиентов, банк решил провести грандиозный розыгрыш: выпустил 1 000 000 000 билетов с обещанием дорогих призов — от новеньких смартфонов до квартир в центре города.
Реклама гремела на каждом углу:
«Миллиард билетов! Тысячи призов! Ваш шанс — прямо сейчас!»

Жители городка оживились. Бабушки откладывали копеечки, школьники копили карманные деньги, а предприниматели всерьёз подумывали закупить билеты оптом.
Но был один нюанс: участвовать в розыгрыше могли только 110 000 пользователей банка. То есть на каждого участника приходилось по… давайте посчитаем.
Считаем вероятность:
1. Вероятность выигрыша на 1 билет

Предположим, что в лотерее ровно 1 выигрышный билет (стандартный сценарий с единственным главным призом).

Тогда вероятность того, что конкретный купленный билет окажется выигрышным:

p=N1;=10000000001;=10;9.

Ответ:
Вероятность выигрыша на один билет —

10;9;(или 0,0000001%;).
2. Вероятность хотя бы одного выигрыша при покупке 100 000 билетов

Теперь найдём вероятность того, что хотя бы один из 100 000 купленных билетов окажется выигрышным.
Шаг 1. Вероятность проигрыша одного билета

q=1;p=1;10;9.
Шаг 2. Вероятность, что все 100 000 билетов проиграют

Поскольку билеты независимы:

P(все проигрышные)=q100000=(1;10;9)100000.
Шаг 3. Вероятность хотя бы одного выигрыша

Это вероятность противоположного события:

P(хотя бы один выигрыш)=1;(1;10;9)100000.
Шаг 4. Приближённый расчёт

При малых p и не очень больших n используем приближение:

(1;p)n;1;n;p.

Тогда:

P(хотя бы один выигрыш);1;(1;n;p)=n;p.

Подставляем значения:

n;p=100000;10;9=10;4=0,0001.
Шаг 5. Перевод в проценты

0,0001;100%=0,01%.

Ответ:
Вероятность выиграть хотя бы один приз при покупке 100 000 билетов —

0,0001;(или 0,01%;).
Итоговые выводы

    На 1 билет: вероятность выигрыша =10;9 (0,0000001%).


И вот настал день розыгрыша.

Вместо открытого тиража с шариками и камерами банк провёл «кулуарное» мероприятие в закрытом офисе.

После всего на сцену вышел генеральный директор и торжественно объявил:

«Дорогие участники! Мы рады сообщить, что все призы нашли своих героев! Особенно счастлив обладатель главного приза — квартиры в центре!»
Зал замер. Кто же этот везунчик?
Директор улыбнулся и добавил:

«Это наш уважаемый акционер, господин кактамфамилиё! Он давно поддерживает банк, и мы решили отметить его лояльность».

В зале повисла тишина. Потом кто-то хмыкнул, кто-то достал телефон, чтобы написать гневный пост, а одна бабушка громко сказала:
«Так это не розыгрыш, а раздача своим!»
И все разошлись.
На следующий день в городке только и говорили что о «Супер-Выигрыш-Банке». Кто-то смеялся, кто-то ругался, а самые умные просто пожали плечами:
«Ну, мы же знали, что лотерея — это математика удачи. А кулуарно — это уже политика».


Банк, впрочем, не расстроился. Какие-то клиенты остались, реклама сработала, а главный приз… ну, он ведь действительно достался «достойному человеку».
Мораль: если розыгрыш «кулуарный», вероятность вашего выигрыша стремится к нулю — даже если билетов всего один миллиард.