Эссе. Выйти за рамки

– Г голубчики, – сказал Фёдор Симеонович
 озадаченно, разобравшись в почерках.
 – Это же п проблема Бен Б бецалеля.
 К калиостро же доказал
, что она н не имеет р решения.
– Мы сами знаем, что она не имеет решения,
 – сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь.
 – Мы хотим знать, как её решать.
– К как то ты странно рассуждаешь, К кристо…
 К как же искать решение, к когда его нет?
 Б бессмыслица какая то…
– Извини, Теодор, но это ты очень странно рассуждаешь.
 Бессмыслица – искать решение, если оно и так есть.
 Речь идёт о том, как поступать с задачей,
 которая решения не имеет.
 Это глубоко принципиальный вопрос….

 А. и Б. Стругацкие, «Понедельник начинается в субботу»

                Выйти за рамки

Существует ли Бог? Человеку верующему не нужны никакие рассуждения и доказательства, для него ответ очевиден и единственен. Я же, как убеждённый атеист, всё же попробую поразмыслить об этом.
Вспомним первую теорему Гёделя о неполноте. Приведу не математическое определение, а суть теоремы простыми словами: в любой достаточно богатой непротиворечивой системе всегда найдётся утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть средствами этой системы. Непротиворечивая система (теория, набор аксиом и правил вывода) это такая система, в которой невозможно одновременно доказать некоторое утверждение и его отрицание.
Но для начала возьмём парадокс лжеца: «Я лгу». Это действительно парадокс ибо здесь явное противоречие – высказывание одновременно и истинно и ложно. Действительно если допустить, что высказывание истинно, значит человек лжёт. Значит его высказывание не может быть истинным. Если же предположить, что высказывание ложно, значит утверждение не соответствует действительности, то есть человек не лжёт, а значит высказывание истинно.
Как видим предположение об истинности утверждения приводит к выводу, что оно ложно. А предположение о ложности приводит к выводу, что оно истинно. Любой вариант приводит к противоречию. Это нарушает закон исключённого третьего. В классической логике высказывание может быть либо истинным, либо ложным – третьего не дано.
Математики конечно подсуетились и придумали разные методы, чтобы разрешить этот парадокс. Например изобрели троичную логику: истина/ложь/неопределённость. Здесь сразу человек знакомый с квантовой механикой должен вспомнить кота Шрёдингера, который находится в состоянии жив/мёртв одновременно.
Вернёмся к Гёделю. Теорема не приводит к противоречию. В отличие от парадокса лжеца она не опирается на понятие «истина/ложь» напрямую, а говорит о доказуемости. Повторю: в любой достаточно сложной математической системе всегда найдутся истинные факты которые нельзя доказать внутри этой системы.
Вот тут теисты начинают ликовать: Бог есть! Ну и что, что мы не можем это доказать, утверждение-то истинно. Ну а то, что речь идёт о чисто математической теории, в то время как мы находимся в материальном, физическом мире, это их уже не волнует. Формальная математическая система – это набор аксиом, правил вывода, алфавит и синтаксис. Ничего такого о нашем мире мы сказать не можем (по крайней мере на первый взгляд).
Более того. Кто сказал, что Бог есть? А если я скажу, что Бога нет! И что это истинное утверждение, только недоказуемое? Ну ладно. С первой теоремой в вопросе о существовании Бога мы пока продвинуться не можем. Тогда нам придётся коснуться аксиоматики.
1. Через две точки всегда можно провести прямую и только одну.
2. Все прямые углы равны между собой.
3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
4. Любой отрезок можно неограниченно продлить в обе стороны, получив прямую.
Такие постулаты (аксиомы) определил Евклид для построения планиметрии. С их помощью можно доказать много теорем, например признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Но вот доказать, что сумма углов треугольнике равна 180; не получится. И ответить на этот вопрос находясь внутри этой формальной системе невозможно. Почему так и что делать? Оказывается нужна ещё одна аксиома – 5-ый постулат Евклида о параллельных. Предположим параллельные не пересекаются, тогда можно доказать, что сумма углов треугольника равна 180;. Более того, если предположить, что параллельные пересекаются, то оказывается сумма углов может быть больше или меньше 180; (геометрия Римана или Лобачевского). Как видим, чтобы получить ответ на вопрос о сумме углов треугольника понадобилось выйти за рамки системы, расширить её. Причём в зависимости от того как мы её расширили мы получаем разные миры. Сумма = 180; - Евклидова геометрия, сумма > 180; - геометрия Римана, сумма < 180; - геометрия Лобачевского).
Вот так получается: мы создали мир используя 4 аксиомы. Чёткие правила, непротиворечивые законы, стройная система. Но в это мире мы не могли найти ответ на интересующий нас вопрос. Пришлось выйти за рамки созданного мира путём добавления ещё одной аксиомы и получить новый мир, в котором мы получили ответ на наш вопрос. Более того, в зависимости от того какую аксиому мы выберем, мы получим разные Веленные со своими законами.
Снова теисты в восторге. Мы, как существа из этого мира, не можем выйти за его рамки, но Бог то может, поскольку он всемогущий. Точнее он там и находится, вне нашего мира. Там есть ответы на все вопросы. Мы же не можем получить ответ на вопрос «Существует ли Бог?», потому что мы ограничены рамками нашего мира. И как же быть? Может придумать какую-нибудь аксиому и посмотреть, что это за мир получается?
Здесь мы сталкиваемся опять с той же проблемой. Все эти аксиомы – это идеальные объекты, математические абстракции никак не связанные с материальным, физическим миром. И переносить эти законы напрямую в наш вещественный мир кажется не просто сомнительным, а скорее непозволительным.
Ну вот если подумать: добавили мы аксиому, получили новую теорию. Но ведь в ней согласно Гёделю тоже есть вопросы, которые в рамках этой теории не имею ответа. Добавим ещё одну аксиому… и так до бесконечности. А бесконечность — это та ещё тема, к которой и подойти то страшно.
Теперь можно поговорить о второй теореме Гёделя. В чём её суть? Опуская математические формулы скажем: если система непротиворечива, то утверждение о её непротиворечивости недоказуемо в этой системе. Интересно получается: есть некая система аксиом, но формально доказать, что она непротиворечива мы не можем. И если мы будем пользоваться этой системой, то всегда можно ожидать, что можем прийти к противоречию. Ну и как обычно, можно доказать непротиворечивость нашей системы в другой, более мощной формальной системе. То есть выйти за рамки нашей системы. А непротиворечивость новой системы мы уже доказать не сможем. Возникает та же проблема бесконечности. И фактически математики при работе опираются на интуицию и многолетний опыт использования системы без обнаружения противоречий. Так устроен наш мир и ничего с этим поделать нельзя.
Вот всё, что я написал выше давно известно и ничего нового я пока не сказал. Теперь попробую.
Анатолий Васссерман в своей работе «Дилогия атеизма» тоже опирался на теоремы Гёделя и пришёл к выводу, что Бог не существует. Но он допустил, по крайней мере одну, методологическую ошибку. Ту самую, на которую я уже обращал внимание. Он экстраполировал математические результаты на метафизику.
Как видим применение теорем к нашему миру упирается в невозможность перенести идеальные математические конструкции в наш физический материальный мир. Тогда поступим по-другому. В нашей Вселенной существует множество физических законов: F=ma, E = mc;, I=U/R и т.п. Вот и возьмём эти законы в качестве физических аксиом и начнём строить мир. Но нужно понимать, что это всё же не математические аксиомы, которые, кстати, должны удовлетворять условиям Гёделя, в частности должны быть эффективно перечислимы (алгоритмически заданы).
Что делать с этими новыми физическими аксиомами пока не очень понятно. Что за условия должны быть, чтобы они образовали систему. К тому же ещё не все законы открыты. Обязательно встаёт вопрос о независимости этих физических аксиом. Вспомним 5-ый постулат Евклида. Понадобилось две тысячи лет, чтобы доказать его независимость от других аксиом. Значит нам нужно доказать независимость законов термодинамики от законов механики. Нужно доказать, что теория квантовой механики независима от релятивистской теории. Используя эти физические аксиомы мы будем строить наш мир.
И вот что ещё нужно добавить. Доказать, что такой наш мир непротиворечив, согласно второй теореме Гёделя, невозможно. Но, поступая как математики, я глубоко убеждён, что он непротиворечив, ибо он давно бы уже развалился. Но многолетняя практика убеждает нас, что в мире нет принципиальных противоречий. Значит наша система неполна и нас ждут новые открытия.
Хотя, возможно, нужно будет доказывать новые теоремы, аналогичные, но не тождественные, теоремам Гёделя. Может быть тогда мы получим ответ на вопрос: существует ли Бог.