Гиперкомплексные числа

Комплексное число образуется из суммы вещественного числа (реальной части комплексного числа) и мнимой единицы, умноженной на другое вещественное число (мнимой части комплексного числа). Мнимая единица есть корень квадратный из минус единицы.

Комплексные числа описываются теорией функции комплексного переменного (ТФКП). Комплексное число имеет алгебраическую, тригонометрическую и экспоненциальную формы представления. Эти числа используются для характеристики гармонических и многих других процессов. В частности, методы ТФКП применяются для вычисления интегралов, которые не получается вычислить стандартными способами.

Комплексные числа были обобщены на гиперкомплексные числа, путём удвоения размерности – были введены четырёхмерные кватернионы, восьмимерные октонионы, шестнадцатимерные седенионы и так далее. Размерность гиперкомплексных чисел удваивается: с двух (для комплексных чисел) до четырёх (для кватернионов), с четырёх до восьми (для октонионов), с восьми до шестнадцати (для седенионов), и так далее. В новых числах были введены новые мнимые единицы.

Кватернионы представляются в виде суммы скаляра (вещественного числа) и трёхмерного вектора. Вектор является мнимой частью кватерниона. Три орта (единичных вектора) этого вектора являются тремя разными мнимыми единицами. Результат попарного перемножения этих мнимых единиц не является коммутативным – зависит от порядка их следования. Векторная часть кватерниона определяет вектор, вокруг которого происходит вращение, а скалярная часть определяет угол поворота. С помощью кватернионов, в частности, удобно компактно записывать систему уравнений электродинамики Максвелла.

Октонионы – числа 8-мерной алгебры над вещественными числами. Их также называют октавы или числа Кэли. Они получаются прибавлением к кватерниону ещё одного кватерниона, умноженного на новую мнимую единицу. Их применяют в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн.

Седенионы – числа 16-мерной алгебры над вещественными числами. Они получаются путём линейной комбинации вещественной единицы и 15 мнимых единиц.

Процесс расширения гиперкомплексных чисел можно продолжить. Во всех этих расширениях есть свои особенности и нюансы.