Глава 5. Поиск пути от ответа к условию

Основной подход к поиску решения состоит в движении от условия задачи и постановки проблемы к решению. Метод уточнения неопределенностей рассмотренный в предыдущей главе как раз об этом. Условие задачи, при таком подходе, это некое минимальное, точно установленное знание, расширяя которое мы рассчитываем включить в имеющуюся картину знания и решение задачи. Такой подход пригоден для задач любого вида. Но может оказаться вполне эффективным и обратный путь.
Движение от гипотетического решения применяется в экспериментальной проверке теоретически выведенных положений. Действительно, что делают, скажем,  физики-теоретики в некотором грубом приближении. Например, из теоретических допущений выводится уравнение, описывающее физический процесс. Поставим акцент на важном обстоятельстве. Речь идет не о твердом знании, а о теоретических допущениях, которые могут оказаться и неверными.  Далее перед физиками встает новая задача – проверка уравнения. Для этого уравнение предполагают соответствующим действительности и, решая его, смотрят что из него следует, какие можно предсказать явления и факты, при условии их экспериментальной проверяемости.

Конечно, множество установленных экспериментом фактов, можно считать условием задачи. То есть вполне можно провести ряд экспериментов, а затем попытаться поискать общую форму уравнения описывающего все полученное экспериментальное множество. Но физик часто идет от обратного. И в этом есть большой смысл.
Движение от эксперимента к теории это движение в неизвестность. Сами по себе экспериментальные факты несут в себе достаточно информации, которую можно использовать для построения закона и уравнения увязывающего некоторые величины, но движение от экспериментальных данных к закону, слишком уж вариативно. А готовая теория задает возможные направления умозаключений в силу того, что теория это строгая логическая форма, отсекающая множество маловероятных возможностей. Поэтому проще сделать разумное предположение и проверить его, если же результат будет отрицательным, то можно вернутся к началу и проверить корректность и разумность принятых допущений. Такой  путь тоже не прост, как и любой путь в деле поиска решения, но он  ограничивает множество возможных вариантов. Поэтому принцип «От предположения к известному» можно сформулировать и так – допустим, что некоторое положение истинно, посмотрим, что же из этого следует.    

Проверка теории экспериментом разумеется не единственная полезная возможность использования исследуемого подхода.  Ровно также проверяются решения математических задач на вычисление различных величин. Таковая технология рассуждений возможна и для других видов задач.               

Пример первый   

Попробуем решить вопрос с суммой углов произвольного выпуклого четырехугольника (допустим, что нам эта сумма неизвестна). Положим, что мы очень мало знаем о планиметрии, она пока только зарождается в человеческой науке о плоскости, но работы Евклида уже известны, по крайней мере, известна система аксиом и самая общая идея о том, что все возможные истинные утверждения выводимы из  аксиом.
Можно в поисках решения пойти от аксиом, формулируя все новые и новые теоремы, задавая себе вопросы о том, что можно еще выяснить на базе того, что уже известно. Это будет в чистом виде концентрическое расширение знания о плоских фигурах, и как мы уже знаем это не слишком эффективная стратегия.

Решение задачи такого рода разумно начать с эксперимента. Эксперимент может дать, если не путь решения, то по крайней мере ценную информацию. И это действительно так. Промерив несколько прямоугольников, мы обнаружим, что сумма углов колеблется около числа 360. Вообще скорее она колеблется возле числа 361, или 362 или 359. А если учесть, что целые числа предпочтительны только с точки зрения психологии восприятия, и числа с дробной частью имеют те же самые права, что и целые, но пока все довольно плохо. Однозначного предположения нет. Нет даже выделенного небольшого множества вариантов.

Дело в том, что в наших планах идти от предполагаемого решения вниз к аксиомам. Если дойти удастся, то предполагаемое решение верно, иначе нет. Но пока мы имеем практически бесконечное количество возможных вариантов, перебирать которые можно до бесконечности. В общем нужна идея. И их есть даже две.
Первая заключается в том, чтобы все-таки выделить какое-то одно значение суммарного угла имеющего преимущество перед другими. И такой угол – это угол в 360 градусов – полный угол на плоскости – угол, имеющий особое значение для геометрии и можно ожидать, что его значимость влияет и на свойства  фигур. Заметим - сумма углов это фундаментальное свойство простой фигуры, а свойства фигуры должны быть каким-то образом связаны с общими свойствами плоскости. Мы не знаем, каким именно  образом они будут связаны, но само по себе это предположение разумно. Поэтому все же 360 градусов – угол, выделенный среди всех остальных.

Вторая идея еще более интересна. А зачем собственно знать, чему именно равна сумма углов. Может быть достаточно предположить, что есть просто какая-то постоянная величина, одинаковая для всех выпуклых четырехугольников и посмотреть, что из этого следует. Но работать с числами всегда проще, нежели с абстрактными величинами, поэтому давайте примем гипотезу, что сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

А дальше все же нужна содержательная идея. Можно сколько угодно рассуждать о стратегии мыслительной деятельности в процессе поиска решения, но время от времени будут появляться точки, в которых нужна тактически содержательная идея. Можно попробовать упростить задачу. Кстати это еще один красивый принцип мышления, о котором будет подробный разговор, в отдельной главе. И упрощение лежит на поверхности. Выпуклый четырехугольник можно представить как сумму двух треугольников и тогда задача сведется к доказательству утверждения, что сумма углов произвольного треугольника равна 180 градусов. 

И это опять точка, в которой требуется содержательная идея. Используем аналогию с четырехугольником. В предыдущей точке неопределенности, мы обратили внимание на особенность угла в 360 градусов. А 180 это развернутый угол.  Следовательно, можно попытаться представить все три угла треугольника как составные части развернутого. Не будем рисовать чертежи, так как цель только лишь указать путь к решению. Заметим,  для того чтобы получить задуманное представление, достаточно через одну из вершин треугольника провести прямую параллельную противоположному основанию, Эта линия будет представлять собой развернутый угол, в одной из вершин треугольника. Дальнейшие действия вопрос небольшой сообразительности.

А теперь отметим главное. Рассуждая подобным образом, мы действительно докажем, что сумма углов треугольника равна развернутому углу, то есть 180 градусов. Кто не готов сделать этого сам, может посмотреть известное доказательство в школьном учебнике. Но для истинности этого утверждения понадобится одно существенное допущение, утверждающее, что через точку не лежащую на заданной прямой можно провести одну и только одну прямую, не пересекающуюся с заданной прямой.
Но дело в том, что это утверждение есть ничто иное, как аксиома параллельных геометрии Евклида. То есть, спускаясь от предположения, принятого за истинное мы пришли к утверждению простому, которое вполне можно включить в исходное условие. То есть условие могло бы быть таким – дан произвольный выпуклый четырехугольник и известно, что утверждение о существовании единственной параллельной истинно. Доказать что сумма углов этого четырехугольника равна 360 градусов. Но мы прошли обратным путем и получили как обязательное требование истинности аксиомы, что и требовалось.

Конечно, еще раз отметим, что в основе рассуждений приведенных выше было одно неочевидное суждение о том, что сумма углов выпуклого четырехугольника как-то связана с понятием полного угла, то есть угла в 360 градусов. Конечно, хотелось бы всегда опираться на строгие, доказанные утверждения. Хотелось бы, но это невозможно. Довольно часто приходится все же использовать неочевидные допущения. Впрочем, наше допущение имело под собой экспериментальную базу. Кроме того, есть и еще интересные соображения. Например, начав путь от одной из вершин и пройдя весь четырехугольник по кругу, мы пройдем именно полный угол, всегда выполняя повороты в одном и том же направлении. Это, конечно, ничего не доказывает, но наводит на мысль, что выпуклый четырехугольник имеет какое-то отношение к полному углу.

Выше сказано также, что можно предпринять попытку спуститься к аксиомам от предположения, что о сумме углов известно только то, что это константа. Такой путь немного сложнее, но его я предлагаю поискать вам самостоятельно. Идея та же. Представляем выпуклый четырехугольник, как два треугольника. Полагаем сумму углов треугольника константой, а затем пытаемся все три угла свести к одному, и окажется, что этот один угол и есть развернутый.   

Отрицательный ответ – тоже ответ               
    
Рассмотренный выше первый пример, высвечивает важное требование. Выбор предполагаемого ответа, который мы принимаем как истинный, должен быть хоть как-то обоснован. Проблема в следующем. Идя от условия к решению (путь вверх), нам приходится бороться с неопределенностью выбора возможного пути, так как их может быть много или по крайней мере не один. Но есть и солидное преимущество. То, что уже известно из условия задачи, представляет собой суждения, истинность которых твердо установлена. Осталось обеспечить использование Решающим задачу логически корректных методов.

Идя же от ответа (путь вниз), мы в принципе начинаем движение от неочевидного допущения и, следовательно, результативный спуск к известному знанию не гарантирован. Единственно на что можно рассчитывать, это высокая вероятность существования такого пути. Но в принципе всегда возможно не только подтверждение истинности предполагаемого ответа, но и его отрицание. Впрочем, отрицательный ответ – тоже ответ. И на этом утверждении основан широко используемый метод доказательства от противного. Метод сильный, но требующий применимости неочевидного логического принципа – принципа исключенного третьего, утверждающего, что если есть два взаимоисключающих суждения и третьего не дано, в том смысле, что третьего не существует, то истинность одного из этих суждений означает ложность другого и наоборот.   

  Пример второй

Два чугунных ядра разной массы брошены одновременно с Пизанской башни. Вопрос – будет ли время полета до поверхности для них одинаковым. Хороший пример. Ответ получен экспериментально еще Галилео Галилеем и именно бросанием ядер с Пизанской башни. Допустим, результат этого опыта нам  неизвестен и нет возможности его провести. Дело конечно не в наличии Пизанской башни. Нас интересует можно ли получить какой либо результат умозрительно, цепочкой рассуждений.

Чугунные ядра взяты для того, чтобы исключить фактор сопротивления воздуха, поэтому речь может идти только о массе. Заметим, что вопрос не стоит о конкретной формуле для расчета времени. Ответ нужен качественный – одновременно они упадут или нет и вариантов только два. Выберем психологически более приемлемый. Для человека не владеющего профессионально физическим знанием, а мы сейчас имеем ввиду именно такую ситуацию,  разумно предположить, что тяжелое ядро падает быстрее. Положим, что это так и есть и посмотрим, что из такого предположения следует.

Прежде всего, определимся с необходимыми знаниями, хотя бы минимальным их набором. Заметим, что любой физический процесс по своей сути представляет процесс преобразования энергии. Что с этой точки зрения мы можем сказать о падении ядра? Очевидно, что здесь речь идет о преобразовании потенциальной энергии в кинетическую. Немного почитаем об этих понятиях и выясним, что оба вида энергии зависят от массы, но кинетическая еще зависит от скорости, а потенциальная от высоты. Конкретные формулы опустим, так как было решено попробовать обойтись минимальным знанием.

Принятое ограничение разумно, если уж нам неизвестен результат работ Галилея, то претендовать на знания точных формул тем более нельзя. Заметим, что зависимость потенциальной энергии от высоты очевидна. Просто представьте себе, как вы несете ядро на большую высоту теряя собственную энергию с каждой ступенькой и, следовательно, передавая энергию своего движения ядру. Кинетическая энергия – это энергия движения, поэтому ее зависимость от скорости тоже очевидна.
Если движение ядра сопровождается переходом одной формы энергии в другую, то разумно поинтересоваться общим принципом, регулирующим такой переход. Этим принципом может стать закон сохранения энергии, утверждающий, что общее количество энергии в замкнутой системе неизменно. Но это даже слишком сильное предположение. Вполне достаточно утверждение, что для увеличения своей скорости, ядро должно получить какую-то энергию извне, своего рода качественный закон сохранения. То, что это так, мы уже поняли, подняв ядро на себе на верхнюю площадку башни.  Дальнейшее уже несложно.

Итак, мы предположили, что ядро падает тем быстрее, чем больше его масса. Проведем умозрительный эксперимент. Возьмем два одинаковых ядра и поднимем их собственными руками и ногами на башню. Каждое по отдельности. Очевидно, что каждое из них получило одинаковую порцию потенциальной энергии и, следовательно, разовьет одну и ту же скорость при падении, то есть приобретет одинаковую кинетическую энергий. В этом факте для одинаковых ядер мы не сомневаемся, так как над каждым было выполнено одно и тоже действие. Поднимем на площадку еще и сварочный аппарат. Сварим эти два ядра в одно целое. Взвесим, они за счет сварки получили добавочный металл и стали несколько тяжелее. Спилим эту дополнительную массу. Подождем пока ядра остынут, то есть потеряют энергию, полученную от нагрева, и бросим сваренную конструкцию вниз. По нашему предположению два спаянных ядра упадут быстрее (они тяжелее одного), чем два по отдельности. Но процесс сварки не передал системе никакой дополнительной энергии, следовательно, причины для увеличения кинетической энергии нет и таким образом получено противоречие. Нет дополнительной энергии, а скорость зависит от энергии и, следовательно, нет причины изменения скорости.

Кстати знание количественного закона сохранения энергии, даст этим рассуждениям дополнительную убедительность. Действительно если два ядра в результате сварки смогут развить большую скорость, то это будет означать получение ими дополнительной энергии из ниоткуда, что противоречит закону сохранения, так как сумма энергий в замкнутой системе есть константа. Точный закон это более сильное соображение, мы использовали только то обстоятельство, что энергия есть причина изменения скорости, без точных количественных утверждений.
Противоречие получено, следовательно, остается только одно соображение – два ядра разной массы при ударе о поверхность земли будут  иметь одинаковую скорость. Заметим, что такой умозрительный опыт не отменяет эксперимента Галилея. Во-первых, в то время закон сохранения энергии был не очевиден. А во-вторых, экспериментально можно получить более менее точную формулу для скорости, что невозможно в нашем умозрительном опыте без привлечения более полного знания, а мы договорились о его минимуме.

Еще немного об отрицательном результате   

В только что проанализированном примере есть одно очень сильное логическое допущение называемое принципом исключенного третьего. Он утверждает существование двух ответов, при  этом ложность одного автоматически означает истинность другого и наоборот. В примере с ядрами принцип сработал. Но, вообще говоря, совершенно не факт, что на вопрос возможны только два ответа и они взаимоисключающие.

Такой абстрактный пример – «Нечто существует». Вместо слова «Нечто» возможны самые различные замены, например «Инопланетные цивилизации существуют». Но что если проверка, как положительного, так и отрицательного суждения невозможны. Невозможны сейчас или даже невозможны в принципе. Хороший тому пример задача о квадратуре круга – можно ли построить квадрат площади равной площади данного круга. Сейчас мы знаем, что ответ положительный в действительных числах  (хотя его и нельзя построить циркулем и линейкой), но до знания о существовании иррациональных чисел и разработке техники работы с ними, проверка решаемости задачи о квадратуре круга была невозможна. Можно было до бесконечности оперировать циркулем и линейкой, но суть проблемы ускользала бы без знания о существовании иррациональных чисел.    

Привести пример задачи неразрешимой в принципе сложно, но необходимо упомянуть еще об одном обстоятельстве. Для тех кто слышал о квадратуре круга еще раз уточню. Задача построения квадрата равного кругу циркулем и линейкой неразрешима,  ответ же на вопрос существования равного квадрата положителен, но на множестве действительных чисел, включающих числа иррациональные. 
Возможны ситуации, когда нет ни отрицательного ни положительного ответа, то есть возможна ситуация когда вопрос – что истинно не имеет смысла. Здесь также есть классический пример. Это аксиома о параллельных прямых. Как оказалось, вопрос ее истинности не имеет строго смысла. Вполне возможно развить геометрии и на других, отличных от евклидовской формулировке этой аксиомы.

Но отрицательный ответ это неплохо. Если мы сформулировали отрицательный ответ на свой вопрос, это означает, что мы приблизились и к ответу положительному. Если задача хорошо ложится на принцип исключенного третьего, то отрицательный ответ означает, что известен тем самым и ответ положительный, но проблема в том, что реальность бывает существенно сложнее.
Но вообще думаю, что уже видно, движение от возможного ответа к очевидным, истинным  посылкам хорошо работает тогда, когда речь идет о доказательстве или опровержении некоторого утверждения. Грамотно сформулированные утверждения, особенно в области точных наук обладают тем свойством, что они либо ложны, либо истинны. То есть выбор возможного ответа – это зачастую действительно выбор из двух вариантов. Конечно, грамотная формулировка с соблюдением всех требований строгой логики это тоже проблема требующая значительных усилий, но тем не менее выбор из двух вариантов, это хорошее начало для поиска решения.
Если мы сможем, двигаясь от предположения придти к истинным посылкам, как в примере с суммой углов, то тем самым получим истинное утверждение непосредственно. Если же, как в примере с ядрами получим противоречие, то тем самым получим отрицательное суждение непосредственно и истинное опосредовано через использование принципа исключенного третьего.   

Пример третий      

Дано натуральное число. Верное ли что для него возможно только одно каноническое разложение. Напомню, что каноническое разложение – это произведение всех возможных простых делителей в которое каждый делитель входит в своей максимально возможной степени. Например, число 48 представимо произведением 2 в степени 4 на 3 в степени 1.      
Как всегда выполним несколько численных экспериментов и убедимся, что это предположение имеет смысл. Все примеры, которые вы сможете обработать, действительно обладают этим свойством. Но мы ведь понимаем, что примеры, даже в большом количестве ничего не доказывают. Опровергнуть примером можно, достаточно даже одного, а вот доказать нельзя. Поэтому воспользуемся нашим методом и попробуем пойти от предположения к возможным очевидным посылкам или противоречию. Но для этого надо выбрать отрицательное или утвердительное утверждение.

Кстати, хочу обратить ваше внимание, на то обстоятельство, что понятия отрицательного и положительного суждения относительны и взаимообратимы, с точки зрения чистой логической формы. Что взять за отрицательное, а что за положительное не всегда имеет такой уж очевидный ответ. В нашем случае оба взаимоисключающих утверждения можно сформулировать без использования отрицания:

Первое: Существует только одно каноническое разложение

Второе: Возможны различные разложения

Существенно значимо то, что эти два утверждения взаимоисключающие, а какое из них принять положительным, а какое отрицательным – вопрос психологии восприятия и  интеллектуальной установки, что для нас будет более содержательным и соответственно более значимым. Вообще, знание – это то, что ограничивает возможное, выделяя предпочтительное или в идеале вообще указывая на единственно возможный вариант. В нашем случае таким свойством обладает первое утверждение – оно выражено в категорической форме, а значит максимально ограничивает неопределенность знания до одного варианта. Поэтому, второе будем рассматривать как отрицание первого. Следующий вопрос, – а какое из них примем в качестве конечного истинного утверждения, что будем доказывать или опровергать.

Заметим, что первое, категорическое суждение необходимо именно доказывать, так как пример построения одного разложения ничего не гарантирует, существование одного разложения не отрицает существования второго. То есть в отношении первого утверждения потребуется логическая цепочка дедуктивных суждений неопределенной сложности. Для второго суждения можно построить общий пример и посмотреть, что следует из его возможности. Дано число N. Пусть оно имеет два разложения. Первое состоит из простых: a1, a2… каждое из которых имеет степень n1, n2…. Второе разложение состоит из простых: b1, b2… каждое из которых имеет степень m1, m2… Различие этих разложений заключается в том, что списки «a» и «b» различаются.  Или для каждого a можно найти такое «b», что a=b но их степени различны.    

Это утверждение несложно привести к противоречию. Пусть существует «b» такое что его нет в списке «a». Но в списке «a» должны присутствовать все возможные делители, следовательно, существование такого «b» означает неполноту списка делителей «a», тогда список «a» не является каноническим разложением. Точно также необходимо покажем невозможность существование «a», не входящего в список «b».  Аналогично можно вывести противоречие из предположения несовпадающих степеней.         

Построение заданного объекта   
 
Из примеров приведенных выше, мы видим, что метод движения от как бы истинного утверждения к посылкам хорошо работает когда необходимо нечто доказать,   когда речь идет о существовании или невозможности определенного объекта. В третьем примере речь шла о возможности второго канонического разложения. Но чтобы мы делали, если бы требовалось построить объект, а не доказать его существование, при условии, что его существование не вызывает сомнений. Например, возможность канонического разложения сомнений не вызывает, но глядя на число N мы не можем просто из его внешнего вида сделать каких либо существенных предположений о возможных делителях, не говоря уже о простых.

Но кое-что все же возможно. Математики и физики решая свои задачи, часто говорят загадочную фразу – «Будем искать решение в виде….».  Например  системы линейных уравнений с большим количеством неизвестных иногда имеют бесконечно много решений, но их можно выразить в виде зависимостей одних неизвестных от других, которые объявляются свободными переменными. То есть предполагается, что общий вид решения задачи известен и остается уточнить некоторые технические детали. Например, какие-то числовые коэффициенты.

Это тоже своего рода спуск от решения, требующий некоторых допущений. И не всегда эти допущения очевидны. В случае с системой линейных уравнений все достаточно просто. Допустим, что система допускает бесконечно много решений, это означает, что существует неизвестная способная принимать бесконечно много значений, при которых все уравнения системы разрешимы. Уберем эту переменную, заменив ее на допустимое значение. Откуда мы его узнаем другой вопрос, например подбором. Если полученная система опять допускает бесконечно много решений, то повторим процедуру. В конечном итоге мы получим одно уравнение с одной неизвестной и оно очевидно имеет одно решение. Но весьма вероятно, что мы придем к системе из нескольких уравнений с несколькими неизвестными имеющей одно решение и тогда все исключенные переменные и есть свободные параметры. Но повторимся, вопрос формы решения не всегда решается просто и, во всяком случае, фраза «Будем искать решение в виде…» требует хоть какого-то обоснования.

Иногда это обоснование может следовать из психологического восприятия. Пусть например требуется найти последовательность чисел каждое из которых удовлетворяет некотором свойству. Неважно какому. В этом случае можно сказать – «Будем искать заданную последовательность в виде арифметической прогрессии». Вполне возможно, что выбор прогрессии как раз  и будет продиктован психологией, так как арифметическая прогрессия самая простая форма числовой последовательности и проверить возможность такой формы решения будет несложно, а в случае неудачи можно утешить себя тем, что отрицательный ответ – это тоже ответ и времени потеряно не много. Кроме того, действительно, арифметические прогрессии встречаются достаточно часто, поэтому надежда на успех вполне реальна.      

Иногда возможна более интересная ситуация с обоснованием. Его (обоснования выбора формы решения) как бы нет, и наше предположение о форме решения определяется тем соображением, что если такой подход не сработает, с таким предположением, то он просто невозможен. Такое вот косвенное использование принципа исключенного третьего.               
            
               
Пример четвертый. Задача Дейкстры

Известная, классическая задача на построение рекурсивной программы. Методом рекурсивного программирования эта задача решается предельно просто, поэтому она используется как сильный пример использования рекурсии. Н мы подойдем к ней как математики, не имеющие доступа к системам программирования, и посмотрим, что  можно сделать чисто математическими методами, как научится считать значение функции с минимальными усилиями. Ее условие требует вычисления некоторой функции F заданной тремя формулами:

1. F(1) = 1
2. F(2n) = F(n)
3. F(2n + 1) = F(n) + F (n + 1)

Проблема организации вычислительного процесса очевидно в третьей формуле из-за которой процесс ветвится. Понятно, что функция F в любом случае рекуррентна и свернуть рекуррентный процесс в одну формулу как это удается сделать для простых прогрессий может не получиться. Было бы хорошо построить простейший рекуррентный процесс, как с числами Фиббоначи, но мешает третья формула. Прежде чем начинать содержательные рассуждения разберемся, что означают все три формулы и посчитаем хотя бы простой пример для понимания сути процесса.

Первая формула утверждает, что прямо посчитать значение функции возможно только от аргумента = 1. Вторая формула говорит о том, что если аргумент четный, то функция равна функции от половинного аргумента. То есть, например  F(6) = F(3). Третья формула утверждает, что при нечетном аргументе функция распадается на сумму двух F с аргументами такими что их сумма равна исходному аргументу (n + (n + 1) ) = 2n+1 и друг от друга эти два аргумента отличаются на 1. Пример F(5) = F(3) + F (2). Посчитаем чуть более сложный пример:

 
   
Конечно, на самом деле, пример хорошо посчитать от большего значения. Здесь выбрано число 7 только из того соображения, чтобы формула поместилась на одной строке. Но уже здесь видна интересная закономерность. На каждой итерации, то есть между знаками равенства имеется только два числа. На первой итерации это 3 и 4, на следующей 1 и 2. Если вы не поленитесь, то на большом примере это обстоятельство будет видно еще лучше. Каждая итерация представляется ровно двумя числами, отличающимися на 1. Из чего кстати следует, что одно из них четное, а другое нечетное. Следовательно, пришло время для нашей ключевой фразы – «Будем искать решение в виде суммы количеств четных и нечетных.»

Следующий шаг рассуждений пожалуй самый сложный. А собственно как мы будем искать решение в заданном виде. Иногда это довольно просто. Если мы ищем решение уравнения, и есть основание, что значения неизвестной представляют собой арифметическую прогрессию, в которой известно стартовое значение, но не известна разность прогрессии, то это выражение можно подставить в уравнение и найти неизвестные коэффициенты. Сказанное видимо надо проиллюстрировать примером, но чтобы вспомогательный пример не отвлек нас от основного рассуждения, возьмем предельно простую ситуацию. Пусть дано число 4183, известно, что у него есть два простых делителя и один из них находится среди чисел вида: 8x + 1          

Вопрос – что можно сказать о втором делителе. Найдем его в виде: 8y + b. Необходимо определить коэффициент b. Очевидно что: (8x + 1)(8y + b)= 4183, еще заметим, что число 4183 представимо в виде 8p + 7.
Следовательно:  (8x + 1)(8y + b)= 8p + 7. После перемножения имеем следующее: равенство: 8bx + 8y + 64xy + b = 8p + 7. Если положить b неравным 7, то очевидно полученное уравнение не имеет решений в целых числах (оно обязано делится на 8, но это не получается) и исходное допущение о представимости делителей ложно. А мы, как было сказано, откуда-то точно знаем форму одного из них. Следовательно, остается единственная возможность b = 7. Это был простой иллюстрирующий пример.         

В нашем же примере задачи Дейкстры не вполне понятно или даже точнее совершено неясно, что и куда подставлять. Поэтому необходимо дополнительное исследование, и исходный пункт для дальнейших рассуждений есть. Необходимо найти зависимость между количествами четных и нечетных. Иначе говоря, если на некоторой итерации A – количество четных и  B – количество нечетных, то нужен способ пересчета этих величин для следующей итерации.   И у нас есть общий способ получения необходимой информации – это численный эксперимент. И такой эксперимент сейчас мы и проведем, только для большего числа, нежели ранее.  Пусть это будет число 67, результаты оформим в таблицу, в которой учтем получающиеся промежуточные значения четных и нечетных и их количества.

1 34 1 33 1
2 16 1 17 2
3 8 3 9 2
4 5 5 5 2
5 2 7 3 2
6 2 2 1 9
7 нет 0 1 11
 
  Первая колонка – номер итерации, третья колонка – количество четных, пятая – количество нечетных. Что интересного здесь мы можем увидеть, если знаем что ищем. А ищем мы способ вычисления количеств четных и нечетных при условии, что эти количества на предыдущей итерации известны. На первой итерации эти количества очевидно известны, так как всегда будет получаться одно четное и одно нечетное. Что происходит дальше? Нетрудно заметить, что суммы по итерациям считаются так (при известных предыдущих):

Вторая: Четные = Нечетные; Нечетные = Четные + Нечетные   

Третья: Четные = Четные + Нечетные; Нечетные = Нечетные

Четвертая: Четные = Четные + Нечетные; Нечетные = Нечетные

Пятая: Четные = Четные + Нечетные; Нечетные = Нечетные

Шестая: Четные = Нечетные; Нечетные = Четные + Нечетные

Седьмая: Четные = нет; Нечетные = Четные + Нечетные

Мы видим здесь два вида формул:

Что-то = Количество Нечетных

и

Что-то = Количество Четных + Количество Нечетных

Содержание «Что-то» может быть разным, и определятся, как кажется, совершено не закономерным способом. Необходимо посмотреть, чем могут отличаться по составу четных и нечетных две итерации. Это несложно. Заметим, что числа на каждой итерации уменьшаются в два раза, при этом нечетное превращается в одно четное и одно нечетное. Следовательно, деление нечетного качественный состав итерации изменить не может, а вот четное может стать как четным, так и нечетным. Следовательно выбор формул определяется тем, во что превратится четное число после деления на 2.

Собственно это все, что требовалось. Мы исходили из того соображения, что решение надо искать в виде сумм количеств четных и нечетных, ключевая закономерность между ними найдена, если есть интерес, то конечные формулы попробуйте получить самостоятельно. Для нашего же исследования четвертый пример дает важнейший вывод. Оказывается способ поиска решения опирающийся на фразу «Будем искать решение в виде» пригоден для задач сильно отличающихся от простой подстановки в формулу с последующим уточнением неизвестных коэффициентов.      

Еще раз кратко о сути метода

Действия Решающего задачу в рамках спуска от решения к возможному условию таковы. Решающий, что-то предполагает об искомом решении и затем пытается выяснить, при каких исходных условиях, такое решение возможно. Если таковые условия  существуют, и они представляют собой непротиворечивую систему требований, то решение найдено. Если же окажется, что такой системы простых исходных условий не существует, то в худшем случае придется смириться, что допущение оказалось ошибочным. Если же возможных допущений немного, как минимум два и они исключают  друг друга, то метод сводится к перебору допустимых вариантов. Если же задача подпадает под принцип исключенного третьего, то получение отрицательного ответа это тоже ответ, так как оставшаяся альтернатива и есть решение, и ее можно уже не проверять.

Ясно следующее. Об искомом решении должно быть что-то известно. Существует даже такая, вполне содержательная ситуация применения метода, когда решение уже полностью известно, не что-то, не всего лишь разумное допущение, а полностью, до численного значения ответа. В этой ситуации мы на самом деле всегда пользуемся именно методом спуска от решения к условию, и это называется проверкой решения. Таковая проверка используется в тех ситуациях, когда решение получено достаточно сложным способом и остается возможность ошибки. Например, это численное значение корней некоторого уравнения. Мы полагаем, что корни верны и подставляем их в уравнение для проверки.

Именно к поиску решения метод применим тогда когда со значительной долей уверенности можно утверждать истинность какого-то утверждения, как в примере о сумме углов выпуклого четырехугольника. Иногда такое суждение можно получить исходя из фундаментального знания, как и было сделано в анализе геометрии четырехугольника, иногда как в задаче Дейкстры придется эти основании поискать.
Особое значение метод спуска приобретает при доказательстве теорем истинности. Здесь метод спуска превращается в известный способ доказательства от противного. Хороший тому пример доказательство единственности канонического разложения натурального числа.

Разумеется, исследованный в этой главе метод поиска решения не является панацеей для разрешения всех интеллектуальных проблем, но это можно сказать о любом методе мышления, однако надеюсь, подобранные примеры показывают его довольно широкую применимость.