Geometry Foundations - Основания геометрии

Euclid (Elements, Book 1) begins with 23 geometric definitions, 5 postulates, and 9 "general concepts"—axioms of a general mathematical (abstract algebraic) nature.
Naturally, it all begins with the definition of a point: "A point is that which has no parts."
But here, the first logical problems immediately arise:
1) What is a "part"?
2) The empty space of a point also has no parts;
3) Can a point even exist?
4) If a point can exist, in what sense is this "existence"?
5) Logically, "movement" toward a point leads to regression to infinity, the definition of which presents even more complex difficulties.
One could, of course, appeal to the intuitive nature of the definitions, but this also leads to a dead end. Therefore, we propose to proceed not from speculative definitions and constructions, but from more obvious, indisputable ideas of our generally recognized, generally recognized (“collectively conscious”) illusory nature, called objective reality.
Primary definitions:
1) There are solids and voids (negations of solids);
2) A point (non-empty, "material") is a minimal solid (quantum);
3) An empty point is a minimal space (quantum of space);
4) The division of solids and space into corresponding quanta is finite, which can be expressed by counting with the natural numbers;
5) There are mutually orthogonal (perpendicular, impossible to represent as a single sequence) dimensions of space;
6) A dense sequence of solids and their quanta is called a line (solid);
7) A dense two-dimensional "sequence," an arrangement of solids and their quanta, is called a surface;
8) A dense three-dimensional "sequence," an arrangement of solids and their quanta, is called a body;
9) A minimal dense one-dimensional sequence of solids and their quanta is called a straight line;
10) The minimal dense two-dimensional sequence of bodies, their quanta is called a plane.
Axioms (algebraic):
1) There exists (abstractly, conceptually) an infinite sequence of natural numbers: 1, 2, 3, …;
2) There exist operations of addition and multiplication with natural numbers when counting, when establishing correspondences between sets of bodies and their quanta;
3) There exists an "empty" number – 0 (zero), which does not change numbers when added, but transforms other numbers into "emptiness" (nothing) when multiplied;
4) When counting, there exist minimum and maximum values of numbers.
Postulates:
1) Two lines on the same plane that never intersect are parallel;
2) Two planes in three-dimensional space that never intersect are parallel.
Propositions:
1) The length of a line segment is determined by the number of intermediate quanta between two quanta on this line;
2) The area of a figure formed by a dense covering of quanta on a surface is determined by the number of covering quanta;
3) The volume of a three-dimensional body formed by tightly adjacent solid quanta is determined by the number of these quanta.
Thus, we get rid of regressions to infinity, certain contradictions, and aporias leading to absurdity, and move on to the simplest visual representations.
By adding the properties of physical, chemical, biological, and informational interactions to quanta with mathematical parameters, we obtain amazing geometroquantum engineering, capable of modeling and reproducing new bodies, including living beings of a completely new type.
At first glance, it seems that the presented logical constructions of the foundations of geometry are a simple reformulation. Moreover, the logic of geometry itself, as well as of mathematics in general, is not, as is well known, flawless. However, further development of new geometric constructions opens up unexpected possibilities.
Of course, as quanta tend toward zero values, we obtain Euclidean-type geometries with transitions from discreteness and countability to continuity and uncountability, with regressions to infinity. However, even without these transitions, fundamentally new geometric concepts can be introduced: negative quanta, the operations of generating and annihilating quanta of bodies and space. The arrangement of quanta in sequence can be interpreted as the introduction of local times. This will enable a basic synthesis of quantum-mechanical, quantum-field, geometric, and algebraic concepts and create a mathematical foundation for new alternative theories.
        It should be noted that traditionally, a quantum is identified with a "quantum" of energy—the energy of a photon. In our context, a quantum of energy or mass is many orders of magnitude smaller. A photon can contain chains of actual quanta with zero mass or near-zero energy.
Another peculiarity lies in the fundamentally probabilistic nature of the existence of dense formations of mass and space quanta. Quanta themselves exist in several modes: as abstract-figurative, as logical-mathematical, as virtual, probabilistic-physical, as manifested in the processes of observation, measurement, and human cognition. In any case, a purely geometric, logical-mathematical construction must differ from constructions in other modes of existence. The world is structured as a highly complex system of illusory aspects of the One.


Евклид (Начала, книга 1) вначале даёт 23 геометрических определения, 5 постулатов и 9 «общих понятий» - аксиом общематематического (абстрактно алгебраического) характера.
Естественно, всё начинается с определения точки: «Точка есть то, что не имеет частей».
       Но тут сразу возникают первые логические проблемы:
1) а что такое «часть»?
2) пустое место точки тоже не имеет частей;
3) может ли вообще существовать точка?
4) если точка может существовать, то это «существование» в каком смысле?
5) логически «движение» к точке приводит к регрессу в бесконечность, с определением которой возникают ещё более сложные трудности.
Можно, конечно, ссылаться на интуитивность определений, но это тоже заводит в тупик.
       Поэтому мы предлагаем исходить не из умозрительных определений и построений, а из более явных, неоспоримых представлений нашей общепризнанной, общеосознанной («коллективно сознательной») иллюзорности, называемой объективной реальностью.
       Первичные определения:
1) существуют тела и пустоты (отрицания тел);
2) точка (непустая, «материальная») – минимальное тело (квант);
3) пустая точка – минимальное пространство (квант пространства);
4) деление тел и пространства на соответствующие кванты конечно, что можно выразить счётом путём сопоставления с натуральным рядом чисел;
5) существуют измерения пространства, взаимно ортогональные (перпендикулярные, которые невозможно представить в виде одной последовательности);
6) плотная последовательность тел, их квантов называется линией (телесной);
7) плотная двумерная «последовательность», компоновка тел, их квантов называется поверхностью;
8) плотная трёхмерная «последовательность», компоновка тел, их квантов называется
телом;
9) минимальная плотная одномерная последовательность тел, их квантов называется прямой;
10) минимальная плотная двумерная последовательность тел, их квантов называется плоскостью.
       Аксиомы (алгебраические):
1) существует (абстрактно, идейно) бесконечная последовательность натуральных чисел: 1,2,3,…;
2) существуют операции сложения, умножения с натуральными числами при счёте, при установлении соответствий между множествами тел, их квантов;
3) существует «пустое» число – 0 (нуль), не меняющее числа при сложении, но превращающее другие числа в «пустоту» (ничто) при умножении;
4) при счёте существуют минимальные и максимальные значения чисел.
       Постулаты:
1) нигде не пересекающиеся две прямые на одной плоскости являются параллельными;
2) нигде не пересекающиеся две плоскости в трёхмерном пространстве являются параллельными.
       Предложения:
1) длина отрезка прямой определяется числом промежуточных квантов между двумя квантами на этой прямой;
2) площадь фигуры, образованной плотным покрытием квантов на поверхности, определяется числом покрывающих квантов;
3) объём трёхмерного тела, образованного плотно прилегающими друг к другу телесными квантами, определяется числом этих квантов.
Таким образом мы избавляемся от регрессов в бесконечность, некоторых противоречий, апорий, ведущих к абсурду, и переходим к простейшим наглядным представлениям.
       На первый взгляд кажется, что представленные логические построения оснований геометрии являются простым переформулированием. К тому же сама логика геометрии, а также и математики в целом не является, как известно, безупречной. Однако дальнейшее развитие новых геометрических построений открывает неожиданные  возможности.
Добавив квантам с математическими параметрами свойства физических, химических, биологических и информационных взаимодействий, мы получаем удивительную геометроквантовую инженерию, способную моделировать и воспроизводить новые тела, включая живые существа совершенно нового типа.
       Разумеется, при стремлении квантов к нулевым значениям мы получаем геометрии евклидового типа с переходами от дискретности и счётности к непрерывности и несчётности, с регрессами в бесконечность. Однако и без этих переходов можно ввести принципиально новые геометрические концепты: отрицательные кванты, операции порождения и уничтожения квантов тел и пространства. Выстраивание квантов в последовательности можно интерпретировать как введение локальных времён. Это позволит осуществить базовый синтез квантовомеханических, квантовополевых, геометрических и алгебраических понятий и создать математические основания для новых альтернативных теорий.
      Следует заметить, что традиционно принято квант отождествлять с «квантом» энергии – энергии фотона. В нашем контексте квант энергии или массы на много порядков  меньше. Фотон может содержать  цепи настоящих квантов с нулевой массой или с почти нулевой энергией.
Другая особенность заключается в принципиально вероятностном характере существования плотных образований из квантов масс и пространства. Да и сами кванты существуют в нескольких модусах: как абстрактно-образные, как логико-математические, как виртуальные, вероятностно-физические, как проявленные в процессах наблюдений, измерений и человеческого познания. Во всяком случае чисто геометрическое, логико-математическое построение должно отличаться от конструкций в других модусах существования. Мир устроен в виде сложнейшей системы иллюзорностей Единого.