Опорные задания по математике

Иван Шмаков 3 > Учу ФизМАТу > Опорные задания по математике

Опорные задания по математике — это 500 , 700 , тысяча или две тысячи
математических заданий , опираясь на которые
школьник может сформировать представления о свойствах
чисел , функций , уравнений , неравенств , совокупностей и систем
и гибко , нешаблонно , вариативно решать математические задачи .

      Выпускник школы не обязан знать каждое опорное задание ,
но каждое опорное задание за 11 лет школы должно быть ему
показано и разъяснено .
      Опорные задания — не цель , а средство .
Средство обучения математическому мышлению ,
показательные примеры математического мышления .
Научившись мыслить математически ,
конкретные опорные задания ученик может забыть .


            Квадратные уравнения и неравенства

В 70-е и 80-е годы 20-го века выпускники
советских школ ( и технических ВУЗов ! )
квадратные уравнения и неравенства
решать   н е   у м е л и .

      Они были натасканы на выполнение
довольно сложной , но неэффективной инструкции ,
в результате выполнения которой
получался " ответ " , часто более сложный чем исходное уравнение или неравенство .
( обычно уравнение :  в советских учебниках
уравнений было в разы больше чем неравенств ;
предполагаю , что
сами авторы учебников
неравенства решать не умели ) .

                Опорное задание КваНУР 1

Решите квадратное неравенство :

х^2 + 1’21’321’4321’54321’654321’7654321’87654321’987654322 х +
+ 1’21’321’4321’54321’654321’7654321’87654321’987654321 < 0

Ответ :

- 1’21’321’4321’54321’654321’7654321’87654321’987654321 < х < - 1

- - - - - -

Это задание , Опорное задание КваНУР 1 ,
демонстрирует тождество

х^2 + ( с + 1 ) х + с  =  ( х + с ) ( х + 1 )

      Традиционным способом ( через вычисление дискриминанта )
это неравенство можно решать
час , сутки , неделю или всю жизнь .

                Опорное задание КваНУР 2

Сколько разных вещественных корней
имеет квадратное уравнение

х^2 + 1’21’321’4321’54321’654321’7654321’87654321’987654321 х +
+ 1’21’321’4321’54321’654321’7654321’87654321’987654321 = 0   ( 1 )

Для каждого корня укажите :
целое число , которому он равен ,
или
пару соседних целых чисел ,
между которыми он находится .

Используя обозначения для корней уравнения 1 ,
решите неравенство 2 .

х^2 + 1’21’321’4321’54321’654321’7654321’87654321’987654321 х +
+ 1’21’321’4321’54321’654321’7654321’87654321’987654321 < 0   ( 2 )

Ответ :

Уравнение 1 имеет 2 и только 2 вещественных корня ( х1 < х2 ) .

- 1’21’321’4321’54321’654321’7654321’87654321’987654320  <  х1  <
<  - 1’21’321’4321’54321’654321’7654321’87654321’987654319

- 2  <  х2  <  - 1

( 2 )   ( = )   х1  <  х  <  х2

(  ( = )  —  равносильно :
Проза.ру не позволяет просто и надёжно , надолго , вставить традиционный знак равносильно ) .

                Опорное задание КваНУР 3

Написав один и только один промежуточный результат
в качестве доказательства , решите квадратное неравенство :

333 х ^ 2 + 1998 х + 2331 < 0

Ответ :

х ^ 2 + 6 х + 7 < 0 / 333

- 3 - 2 ^ 0,5 < х < - 3 + 2 ^ 0,5

( 2 ^ 0,5 — квадратный корень числа 2 ) .

                Опорное задание КваНУР 4

Решите квадратное неравенство :

999 х ^ 2 + 1998 х + 777 < 0

Ответ :

- 1 - ( 2 / 9 ) ^ 0,5 < х < - 1 + ( 2 / 9 ) ^ 0,5

      КваНУР 3 и КваНУР 4
ученику надо показывать в паре ,
чтобы он понял , как связаны корни уравнений
a x ^ 2 + b x + C c = 0
и
C a x ^ 2 + b x + c = 0