Как Степень Неопределённость победила

6-12+

В далеком-далеком королевстве Цифирия, где реки текли из чисел, а горы состояли из геометрических фигур, жила-была юная, но очень могущественная волшебница по имени Степень.

Она была дочерью самого Короля Основания и Королевы Показателя. Внешне Степень была изящной и стройной, но стоило ей взмахнуть своим волшебным жезлом, как самые маленькие числа превращались в великанов. Жила она в высокой Пирамидальной башне, и чем выше поднимались гости по её винтовой лестнице, тем огромнее становились числа в её покоях.

И были у волшебницы Степени три главных верных помощника — три магических свойства, без которых не обходилось ни одно дело в королевстве.

Первое свойство звали Умножение с одинаковыми основаниями. Это был толстый, неповоротливый, но очень хозяйственный великан. Его правило было простым: если нужно перемножить две одинаковые степени, их маленькие Показатели просто складываются, а Основание остается прежним.
 
Однажды в амбарах королевства закончились запасы зерна. Нужно было посчитать, сколько мешков получится, если взять 2^3 мешка и умножить их на 2^4.

— Зачем считать по отдельности? — пробасил великан, потирая руки. — Основание у нас одно — двойка. Сложим-ка мы Показатели! Три плюс четыре — семь. Получайте ваши 2^7 мешков, это ровно 128!


Так одной простой операцией он сэкономил казне целый день расчетов.

Второе свойство — Деление с одинаковыми основаниями. Это была быстрая и юркая фея, полная противоположность великану. Она любила всё уменьшать и упрощать. Когда у неё в руках оказывалась дробь из степеней с одинаковым основанием, она просто вычитала Показатель знаменателя из Показателя числителя.

Как-то раз строители возводили мост через реку Бесконечность. У них было 5^8 золотых свай, а на укладку одного пролета уходило 5^3 свай. Сколько пролетов они смогут построить? Фея вспорхнула над чертежами, чихнула от пыли и звонко крикнула:

— Восемь минус три — пять! У вас останется ровно 5^5 свай на остальные мосты!
 
Работа закипела вдвое быстрее.

Третье свойство — Возведение степени в степень. Этим заклинанием управлял мудрый старый филин. Он носил очки на клюве и обожал всё усложнять, а потом внезапно упрощать. Если Степень брала число, которое уже было в степени, и возводила его в еще одну степень, филин просто перемножал Показатели между собой.

Приближался Великий бал. Нужно было украсить территорию царства. Главный садовник посадил 3^2 волшебных семечка, из каждого к утру должно было вырасти по 3^4 светящихся цветка. Сколько всего цветов осветит бальную аллею?

Филин задумчиво ухнул, покрутил головой и сказал:
— Не нужно считать тысячи цветков по отдельности. У нас 3^2 семечек, и из каждого вырастит по 3^4 цветка. Поскольку основания одинаковые, складываем показатели: 2 + 4 = 6. значит, всего будет 3^6 цветов. А 3^6 — это как раз 729 сияющих лампадок!

Но однажды в Цифирию пришла беда. Из Туманной Долины выползла серая тоска по имени Неопределенность. Она питалась логикой и путала все карты.

Первым делом она напустила свои длинные щупальца на Умножение-великана. Он как раз в этот момент решал головоломку за дворян. Его задача была сложить Показатели у чисел с разными основаниями: 2^3 + 3^2. У него никак не получалось сделать из этого одну красивую степень, он только путался в вычислениях.

— Шесть в пятой? Нет, пять в шестой! — и всё дальше удалялся от правильного ответа.

Степень, которой уже доложили, что Неопределённость ползает по королевству, тихо подошла к великану и шепнула:

— Тут не нужны волшебные свойства. Просто посчитай: 2^3=8. 3^2=9. А 8+9=17
Великан просиял:

— Так просто! Спасибо, госпожа Степень!

Затем Неопределенность обманула фею Деления. Она заставила её вычитать основания вместо показателей: 10^5-10^2. Фея радостно хотела вычесть показатели, но Степень вовремя остановила её:

— Стой! Правило вычитания показателей работает только при делении, а не при вычитании. Тут нужно просто посчитать: 10^5=100 000, а 10^2=100. Значит, 100 000-100=99 900

Фея вздохнула с облегчением:

— Как хорошо, что вы рядом, госпожа! Я чуть не запутала весь королевский строй.

А старого филина Тоска и вовсе пыталась сбить с толку в зеркальном лабиринте, где он хотел применить не то правило. Но филин вовремя вспомнил: возведение степени в степень — это умножение показателей.

Волшебница Степень поняла: поодиночке её помощники сильны, но только если не теряют голову и помнят, где какое правило применять. Тогда она вышла на центральную площадь Цифирии и напомнила всем главное:

— Смотрите! Если у нас есть произведение в степени, например, (2*5)^3, тогда мы действительно применяем «магию распределения»: возводим каждый множитель в эту степень: 2^3*5^3=8*125=1000. Но если у нас степень в степени, как (2^5) ^3, то тут работает совсем другое правило: мы перемножаем показатели и получаем 2^15=32 768

Тоска Неопределённость зашипела от ярости. Она поняла, что перед лицом строгих и чётких правил её хаос бессилен. Как только Степень навела порядок в вычислениях, мир Цифирии снова стал логичным. Тоска уползла из Цифирии ни с чем.

С тех пор в королевстве царил идеальный порядок. Жители знали: чтобы приручить огромные числа, нужно просто помнить три главных правила — складывать показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями, вычитать при делении и перемножать при возведении степени в степень. А если нужно возвести произведение в степень — тогда распределяем показатель на каждый множитель. И никогда, никогда не пытаться применять эти волшебные заклинания там, где они не работают.


                Ведь даже в сказке математика любит точность.